El enfoque de solución de problemas para la distribución exponencial (página 2)

• ¿Cómo se llama la variable de
  interés en la situación a)? ¿Cómo
  se clasifica? ¿Qué se pide?

• ¿Cuál es el parámetro de la
  distribución de Poisson? ¿Cuál es su
  función de probabilidad?¿Qué significa ?
  en la relación ? = ? . t? Este recordatorio
  puede llevarse a cabo a partir de mostrarle al estudiante la
  siguiente relación:

P(X = x) = (e-? (?)X)/x! = (e- ? t (? t)X)/ x!; ? = ? .
t. El docente orienta la observación del estudiante para
destacar: ¿Qué es ?? ¿Qué es t?
¿Qué es ??

• ¿Cuál es la variable de interés
  en la situación b)? ¿Será el
  número de llamadas como en el caso anterior o el
  tiempo que trascurre entre una llamada y la
  siguiente?

• ¿El tiempo es una variable aleatoria discreta
  o continua?

• ¿Cuál será la
  distribución de probabilidad que corresponde a esta
  variable?

Estas preguntas propician la creación de
situaciones problémicas y sirven para potenciar el nuevo
aprendizaje y para justificar el objetivo de conocer una nueva
distribución de probabilidad, en este caso de una variable
aleatoria continua.

Definir el nuevo concepto a través de la
función de densidad probabilística

Una variante sencilla y breve en la introducción
de la distribución exponencial es informarle a los
estudiantes que para dar respuesta al problema en cuestión
se estudiará una nueva distribución de probabilidad
denominada distribución exponencial, la que tiene una gran
aplicación en problemas de carreras de ingeniería
(por ejemplo, un ingeniero industrial puede interesarse en
modelar el tiempo T entre llegadas a una intersección
congestionada durante una hora pico en una ciudad grande, una
llegada representa el evento de Poisson).

Sobre la base de esta información y sin hacer
otras consideraciones se presenta la definición del
concepto:

"Sea X una variable aleatoria continua. Se dice que X
tiene distribución exponencial si su función de
densidad probabilística es:

Para que haya una mayor comprensión de la
definición se debe destacar que, mientras en la
distribución de Poisson la variable X significa la
cantidad de sucesos que ocurren en un intervalo de tiempo
determinado(variable discreta), ahora la variable X representa el
tiempo que transcurre entre la ocurrencia de un evento y el
siguiente(variable continua). Un gráfico como el siguiente
puede contribuir a este propósito:

Se concluye que si un número de sucesos sigue una
distribución de Poisson, entonces el tiempo entre la
ocurrencia de dichos sucesos sigue una distribución
exponencial y viceversa.

Con estas consideraciones se retoma el problema inicial
y se plantean las siguientes interrogantes:

El objetivo de esta última pregunta es orientar
al estudiante a la utilización del procedimiento de
integración para dar respuesta al problema, aunque luego
él aprenderá un procedimiento más sencillo
para calcular probabilidades usando la tabla estadística
de la distribución exponencial.

Finalmente se obtiene la expresión general de la
función de distribución acumulativa

mediante el procedimiento de
integración.

Después de dar respuesta al problema planteado,
se pueden introducir las fórmulas de las
características numéricas de la variable aleatoria
en estudio, sin necesidad de deducirlas: E(x) = 1/?, V(x) = 1/
?2, s(x) = 1/ ?. El motivo para tratar dichos conceptos puede
resultar de modo natural del propio problema resuelto.

Deducir primero la distribución acumulativa y
luego introducir la función de densidad
probabilística

Otra variante metodológica para la
introducción de la distribución exponencial (aunque
más laboriosa y exigente) consiste en obtener primero la
función de distribución acumulativa y luego como un
segundo paso la función de densidad probabilística
de la distribución exponencial, o sea, usando un
procedimiento inverso al de la primera variante descrita
anteriormente.

Utilizando una exposición problémica el
proceso de enseñanza aprendizaje podría conducirse
planteando interrogantes y haciendo algunas reflexiones como las
siguientes:

"Ahora la variable de interés investigativo es el
tiempo entre la ocurrencia de éxitos que acontecen de
acuerdo a una distribución de Poisson, entonces,
¿cuál será la función de
distribución acumulativa de esta variable aleatoria?
¿Cuál será su función de densidad
probabilística? (Estas preguntas se plantean para orientar
a los estudiantes al objetivo).

Sobre esta base se obtiene la función de densidad
probabilística de la distribución exponencial
mediante el procedimiento de derivación.

Todo lo anterior puede explicarse de forma equivalente
en los siguientes términos: X es una variable aleatoria
que describe el tiempo que se requiere para que ocurra el primer
evento de Poisson. Usando esta distribución encontramos
que la probabilidad de que no ocurra algún evento, en el
período hasta el tiempo t está dada por P(X = 0) =
(e-?(?)x)/x! = (e? (?)0)/0! = e-?, con ? = ?. t. Ahora podemos
utilizar lo anterior y hacer que X sea el tiempo para el primer
evento de Poisson. La probabilidad de que la duración del
tiempo hasta el primer evento exceda x es la misma que la
probabilidad de que no ocurra algún evento de Poisson en
x. Esto último está dado por: e-? = e -? t. Como
resultado: P(X = x) = e -?t

Resolver
problemas de aplicación de la distribución
exponencial

No basta que los estudiantes comprendan los nuevos
conceptos y sus definiciones, sino es necesario también
que los sepan aplicar a la solución de problemas. Esto es
un proceso complejo que hay que planificarlo por etapas. Con este
propósito pueden plantearse a los estudiantes en un primer
momento problemas donde sólo se use la distribución
exponencial como medio de solución y luego problemas que
relacionen esta distribución con la distribución de
Poisson.

Ejemplo 1.

Se conoce que por un punto de control pasan 12 carros
cada media hora como promedio. Si las llegadas siguen una
distribución de Poisson, halle:

• a) La probabilidad de que el próximo
  carro llegue antes de que transcurran 5 minutos, si acaba de
  pasar uno en este momento.

• b) La probabilidad de que el próximo
  carro llegue después de transcurridos 5 minutos, si
  acaba de pasar uno en este momento.

• c) El tiempo promedio entre la llegada de dos
  carros consecutivos.

Los incisos a) y b) se resuelven de forma sencilla
utilizando las fórmulas respectivamente.

Ejemplo 2.

Por experiencia se sabe que un equipo tiene como
promedio 3 roturas mensuales. Si las roturas siguen una
distribución de Poisson:

• a) Halle la probabilidad de que en un
  día no haya más de una rotura.

• b) Si en este momento acaban de reparar el
  equipo, halle la probabilidad de que transcurra una semana
  como máximo antes de la próxima
  rotura.

• c) Halle el promedio de roturas del equipo por
  semana.

• d) Halle el promedio de tiempo entre roturas
  que sufre el equipo en una semana.

En la solución de estos problemas es necesario
que el profesor haga reflexionar a los estudiantes sobre la
necesidad de saber identificar la variable aleatoria de
interés dentro de la estrategia de la solución del
problema, o sea, si se trata de un evento de Poisson como en el
inciso a) del ejemplo 2, o si se trata del tiempo que media entre
dos eventos consecutivos como en el inciso b).

Si se considera necesario, en dependencia de las
características de los estudiantes y de los problemas que
se seleccionen, un esquema gráfico como el indicado al
principio, puede ayudar a una mejor comprensión de los
conceptos y del proceso de solución, sobre todo en las
primeras etapas de aprendizaje.

Conclusiones

En el presente trabajo se han mostrado algunas
alternativas incentivadoras del aprendizaje que pueden
aprovecharse en la enseñanza de la distribución
exponencial usando un enfoque de solución de problemas,
que por supuesto no son privativas de dicho contenido. La
experiencia de los autores sugiere que resultan provechosas y de
interés para los estudiantes cuando son utilizadas en la
docencia en las carreras de Ingeniería.

Las variantes metodológicas que se muestran en el
tratamiento del contenido seleccionado no se limitan al marco del
salón de clases, sino que se orientan a la
enseñanza de estos contenidos en general. El docente,
según las condiciones de la enseñanza,
seleccionará la variante más apropiada,
organizará y dosificará el contenido a
tratar.

Hay que destacar que el objetivo fundamental en la
enseñanza de la Matemática y en particular de la
Estadística no es que el estudiante comprenda cómo
solucionar problemas, sino sobre todo que aprenda a resolverlos
de manera independiente, aunque la comprensión sea un
aspecto básico en ese proceso.

La exposición problémica interrelacionada
con la conversación heurística se muestra como
método de enseñanza productivo apropiado para
tratar estos contenidos, teniendo en cuenta que mediante
él se puede trasmitir a los estudiantes un modelo o
estrategia de actuación para abordar un problema y
solucionarlo.

Las ideas desarrolladas en el presente trabajo
están dirigidas sobre todo a una enseñanza
presencial.

Bibliografía

• 1. Batanero, C. Didáctica de la
  Estadística. Grupo de Educación
  Estadística. Universidad de Granada, 2001.

• 2. Colectivo de autores. Diccionario
  enciclopédico de matemática. Moscú,
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• 3. Espallargas, I. D.: Guía de
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  Municipalización. Facultad de Economía. Dpto.
  Estadística e Informática. Universidad Central
  de Las Villas.

• 4. Hernández, L. M, Del Castillo, A:
  Probabilidades. Editorial Pueblo y Educación. Ciudad
  de La Habana. 1987.

• 5. Linares, F. G, Martínez, C. C:
  Probabilidades y Estadística. Editorial Pueblo y
  Educación. Ciudad de La Habana, 1983.

• 6. Selección de Tablas
  Estadísticas. Editorial Félix Varela. La
  Habana, 2005.

• 7. Walpole, R. E; Myers, R. H; Myers, S. L.:
  Probabilidad y Estadística, Parte I. Sexta
  Edición. Editorial Félix Varela. La Habana,
  2008.

• 8. Bouza, H. C.; Sistachs, V. V.:
  Estadística. Teoría básica y ejercicios.
  Editorial Félix Varela. La Habana, 2002.

Autor:

Dr. Profesor Auxiliar: Salvador Álvarez
Reyes

Lic. Profesor Asistente: Francisco Pérez
Santos